Centrale 2
soit A dans Mn(C) vérifiant
(*) 3 A^3 = A^2 + A + I.
1) Montrer que la suite des A^p converge, expliciter la limite L (on pourra raisonner en termes d'endomorphismes).
2) Montrer que L est un polynôme en A, donner un tel polynôme.
3) Trouver A dans Mn(R), autre que I, vérifiant (*).

Centrale 1
Soit f : u -> (cos(ln u)) / u
1) Nature de la série de terme général
    intégrale(f, [n,n+1]) - f(n).
2) Nature de la série de terme général f(n). On pourra montrer par l'absurde que sin (ln n) n'admet pas de limite au voisinage de l'infini.
3) Nature de la série de terme général 1 / (n ^ (a+i)) où a est réel, i le complexe tel que i^2 = -1.
(L'énoncé disait bien "le" complexe...).

X 2
1) Soit k en entier fixé. On s'intéresse à la suite des C^k_n pour n dans N. Cette suite vérifie-t-elle une relation de récurrence linéaire ?
Question intermédiaire : soit un polynôme P, on s'intéresse à la suite P(n) pour n dans N. Montrer que cette suite vérifie une relation de récurrence linéaire dont le polynôme caractéristique divise (X-1)^(1+ deg P).
2) Que dire de la série entière de terme général P(n) z^n ?
Réponse : Multiplier par (X-1)^(1+ deg P), c'est un polynôme.

X 1
1) Montrer qu'un sous groupe additif de R est dense ou de la forme dZ, avec d réel.
Montrer que si a/b n'est pas rationnel, aZ + bZ est dense.
2) Soient a et b réels, tels que a/b ne soit pas rationnel. Soit f C infini de R dans C. Soient a₀, ... a_M, b₀, ..., b_N des complexes. On suppose que f vérifie les relations fonctionnelles suivantes :
Somme( a_m f(z + a m), m=0..M) = 0 et Somme( b_n f(z + b n), n=0..N) = 0. (pour tout z réel)
Montrer que f vérifie une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants.
Indications au cours de la résolution :
On note g_m : z -> f(z + a m). Montrer que { g_m  / m entier} est un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que E = { z -> f(z + a m + b n)  / m,n entiers} est un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que f’ est dans E.
Conclure.

ENS ULC
Soit E l'ensemble des fonctions C infinies 2pi périodiques. On le suppose muni d'une norme ||.|| telle que pour toute suite de fonctions f_n de E,
a) si pour tout k de N, f_n^(k) converge uniformément vers 0 alors alors || f_n || -> 0.
b) si ||f_n|| -> 0 alors pour tout k de Z, le k^ème coefficient de Fourier de f_n tend vers 0.
Montrer que E n'est pas complet.
Indication en cours de résolution : majorer || f || par une norme faisant intervenir f ^(k).

ENS Ulm
Soit f continue de R dans R telle que pour tout réel x il existe une limite strictement positive à ( f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) )  /h². Que peut-on dire de f ?
Indication en cours de résolution : montrer que f est strictement convexe.